PERMUTACIONES
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
 | Si el orden no importa, es una combinación. |
| Si el orden sí importa es una permutación. |
|  | ¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"! |
En
matemáticas, una
permutación es la variación del orden o de la disposición de los
elementos de un conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de
funciones matemáticas.
Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.
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Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
1.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
e llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos:
1. Calcular las permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
EJERCICIOS
1.-Con las letras de la
palabra libro, ¿cuántas
ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida
de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
2.-¿De cuántas formas pueden
mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
3.-¿Cuántos números de cinco cifras distintas se
pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 9.
4.-¿De cuántos partidos
consta una liguilla formada por cuatro equipos?
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
5.-¿De cuántas formas pueden colocarse los 11
jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede
ocupar otra posición distinta de la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10
posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
6.-Con el punto y raya del
sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo
cuatro pulsaciones?
No entran todos los elementos en un caso y sí entran en lo otros
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
7.-Una mesa presidencial está
formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el
presidente y el secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos:
El primero de 2
personas.
El segundo sería
considerado como un grupo de 7 personas. Basta pensar en el grupo formado por
el presidente y el secretario como una única persona (pues siempre van juntos).
En los dos se
cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
8.-El primer premio le puede tocar a 5
personas, el segundo cuatro personas y el tercero a tres, por lo que se resume
en
P5*P4*P3=60
9- ¿Cuantos números de 4 dígitos
se pueden formar con los números del 0 al nueve sin repetir ninguno?
Bueno
tenemos nueve posibilidades sin contar el cero, pues sería de tres cifras, para
el segundo tenemos 9 posibilidades, para el tercero 8 y para el cuarto 7 por lo
que seria:*8*7= 4536
10-¿Cuántos números de 5 dígitos pueden
formarse con los números del 0 al 9 sin que ninguno se repita?
Como en el problema anterior en el primero no contamos el 0 asi que la
solución
seria
P*8P*P7*P6*=
27216
11-¿Cuántas permutaciones pueden
hacerse con las letras de la palabra ZOOLOGICO?
El
total de las letras es 9, por lo que para la Z hay 9 opciones n=9
r=1
Para
la O hay 8 lugares, pero la letra se repite y la r=3
La
L tiene 4 posibles lugares y solo se repite una vez n=4 r=1
Igual
que la anterior la G tiene n=3 r=1
La
I tiene n= 2 r=1
Por
último la C tiene n=1 y r=1
12.-Como en este caso no nos importa el
lugar que ocupen las letras se trata de una combinación:
* * * * * =
12096
13.- Un alumno tiene que 5 de las
7 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede elegirlas?
Dado
que el orden de las preguntas no importa se trata de una combinación, de la que
el tota es n=10 y solo queremos r=7, por lo que es: =120
14.- un vendedor debe visitara 4
clientes ¿en cuántas ordenes diferentes puede hacer las visitas?
En
este caso el orden es vital pues de él depende que una visita se diferencie de
otra, por lo que hablamos de una permutación, en la que n=4 y r=4 es
decir =24
15.- de cuantas maneras distintas
pueden ser os resultados de unas elecciones estudiantiles si hay 2 candidatos a
presidente, 1 a vicepresidente y 3 a tesoreso?
Para
los presidentes n=2 y solo pueden elegir a 1 por lo que r=1
Para
el vicepresidente solo hay 1 candidato, entonces n=1 r=1
Para
tesorero n=3 y r=1
Por
lo que: 2*1*3= 6
16.-¿de cuantas maneras distintas
pueden seleccionarse 4 películas para ver en un día?
Hay
4 posibilidades y podemos ver 4
n=4
r=4
y
el orden importa así que es una permutación:
=24
17- ¿De cuantas maneras diferentes
pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas?
El
orden importa es una permutación:
N=8
R=5
18- ¿De cuántas maneras se pueden
acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman todos a la vez?
R:
Permutaciones. 5
P5
= 5! = 120
19- De un grupo de 11 edecanes se
deben seleccionar a cuatro para que asistan a una
exposición.
Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.
R: Combinaciones
20- Un vendedor tiene una cartera
de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede
realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?
R:
Recorrido implica orden.
21.- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8
= 8! = 40.320.
22.- ¿Cuántas de las permutaciones
de (a) comienzan con la letra a?
P7
= 7! = 5.040.
23- ¿Cuántas de las permutaciones
de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
P6
= 6! = 720.
24.-¿Cuantas representaciones
diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo
Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del
sindicato de una pequeña empresa.
Solución:
Por principio multiplicativo:
25 x 24 x 23 x
22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que
conste de presidente, secretario, etc., etc.
Por Fórmula:
n =
25, r = 5
25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! =
(25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=
= 6,375,600 maneras de formar la representación
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
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Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
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Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
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La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
- 1! = 1
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| Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. |
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
| | = 16 × 15 × 14 = 3360 |
|
13 × 12 ...
|
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
 |
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 3360 |
| | |
| (16-3)! | 13! | 6,227,020,800 |
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
| 10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| | |
| (10-2)! | 8! | 40,320 |
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
| El orden importa | El orden no importa |
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 | 1 2 3 |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
 |
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa) |
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 560 |
| | |
| 3!(16-3)! | 3!×13! | 6×6,227,020,800 |
O lo puedes hacer así:
| 16×15×14 | = | 3360 | = 560 |
| |
| 3×2×1 | 6 |
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
| 16! | = | 16! | = | 16! | = 560 |
| | |
| 3!(16-3)! | 13!(16-13)! | 3!×13! |
Triángulo de Pascal
Puedes usar el
triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
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Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
- {c, c, c} (3 de chocolate)
- {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
- {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)
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(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
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Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
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| Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres. |
Ahora puedes escribirlo como
(la flecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
| {c, c, c} (3 de chocolate): | |
| {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla): |  |
| {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): |  |
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
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donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa) |
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
| (5+3-1)! | = | 7! | = | 5040 | = 35 |
| | |
| 3!(5-1)! | 3!×4! | 6×24 |
En conclusión
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
